電動機是如何將電能轉化為機械能的？發電機又是如何將機械能轉化成電能的？8月19日12時 ， 《張朝陽的物理課》第七十九期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，先帶著網友復習了靜電磁學中一系列的重要公式及其應用 ， 接著利用洛倫茲力推導出安培力公式，并討論了電動機的工作原理 。隨后，繼續利用洛倫茲力推導動生電動勢與磁通量變化的關系，并指出感生電動勢也滿足同樣的關系式 ， 統稱為法拉第電磁感應定律 ， 該定律可以得到麥克斯韋方程組中關于電場旋度的方程，并幫助人們制造發電機 。
靜電磁學的特點與總結
張朝陽先回顧了最近這幾期關于電磁學的內容，他帶領網友先從麥克斯韋方程組出發：
只是簡單地推導出電磁波之后，課程就圍繞著電磁場不隨時間變化的情況展開，這時麥克斯韋方程組中關于時間的偏導項都可以忽略，得到簡易的靜電磁場方程組：
上述靜電磁場方程組的解就是庫倫定律：
和畢奧薩伐爾定律：
由上述公式可以求出給定恒定電荷密度與電流密度情況下的電磁場 。但在對稱性較高的情況下 ， 還可以通過靜態微分方程組的積分形式來高效求得電磁場 。利用散度定理，可以將第一個方程改寫為高斯定理：
利用高斯定理和對稱性，可以簡單地得到點電荷，線電荷和面電荷的電場 。
同樣對第三個公式利用散度定理，也可以得到：
這表明一個閉合曲面的磁通量為零，是磁荷不存在的表現,需要注意的是 ， 該公式對隨時間變化的電荷密度與電流密度也成立 。
利用斯托克斯公式，第二個方程可以改寫為：
這說明電場沿著閉合曲線積分一周后為零，同時也說明將電場從空間某點路徑積分到另一點的值與路徑無關 ， 所以可以由此定義出標量的勢能φ，它滿足：
注意，滿足上式的勢能φ只能在靜電磁場的情況下才能被定義出來，否則將與公式-▽×▽φ=▽×E=0矛盾 。
同樣利用斯托克斯公式，最后一個方程可以改寫為：
該公式是安培環路定理，它能代替復雜的畢奧薩伐爾公式來推導磁場 。無窮長線電流（導線橫截面積可以不趨于零） ， 面電流還有環形電流（例如通電螺線管）等等具有一定對稱性的電流密度分布的情況，都可以用安培環路定理簡單快速地求得磁場分布 。
安培力與電動機
上述回顧的麥克斯韋方程組可知電荷如何產生電磁?。?而這節課要討論的洛倫茲力則可以明白電荷如何受到電磁場的作用 ， 麥克斯韋方程組加上洛倫茲力才構成完整的電磁學理論體系 。一個以速度v運動帶電量為q的點電荷受到的洛倫茲力為：
（張朝陽利用洛倫茲力推導安培力）
若要考慮的對象不是一個點電荷，而是具有電荷密度ρ的電荷分布 。其中一個體積微元dτ具有電荷量q=ρdτ，設此體積微元的運動速度為v，那么它受到的洛倫茲力為：
其中j=ρv是電流密度 。將上式兩邊同除以dτ，得到單位體積受到的洛倫茲力為：
現在只考慮一個簡單的情況，忽略掉電場的部分，并且磁場與電流方向垂直，那么單位體積的洛倫茲力的大小可以簡寫成：
對于橫截面積為dS的導線，其電流為：
若導線垂直于磁場方向B，則每單位長度的導線受磁場引起的洛倫茲力為：
設導線的長度為L，磁場均勻且垂直于導線，那么導線受力為：
這就是安培力公式 ， 它給出了通電導線在磁場下的受力大小 。
利用安培力，可以制作電動機 ， 其構造如下圖所示：
（張朝陽介紹電動機工作原理）
恒定且均勻的磁場B從左向右，一條導線電流垂直紙面向里 ， 另一條導線電流垂直紙面向外，設導線的長度為L，兩導線的距離為d ， 兩導線中心的連線與磁場方向的夾角為θ 。利用安培力公式，可知兩導線受力都為F=BIL 。另外F的方向就是j×B的方向 ， 由右手螺旋定則還可判定電流垂直紙面向里的導線受力向下，而電流垂直紙面向外的導線受力向上 。由此線圈受到一個沿紙面向外的力矩，并可計算出線圈受到的總力矩為：
其中A=Ld是線圈的面積 。
當θ等于零的時候，力矩最大，在力矩的作用下，線圈旋轉到θ等于90°的情況 ， 此時力矩為零，當線圈繼續轉過該平衡位置后，力矩從零增大，但力矩的方向卻與之前的相反，阻礙線圈的轉動 。為了能讓力矩始終保持一個方向 ， 可以在θ等于90°的平衡位置處安裝一個接口切換裝置，使得線圈電流反向，安培力也會反向 ， 使得轉過90°之后力矩方向與轉過90°之前一致，這樣線圈就可以不停地沿著同一方向持續轉動，這就是電動機的工作原理，利用安培力將電能轉化成機械能 。
法拉第電磁感應定律
給放在磁場中的線圈加電動勢產生電流后，線圈會轉起來，若反過來 ， 使放在磁場中的線圈轉起來后，是否會產生電動勢呢？
（張朝陽利用洛倫茲力推導感應電動勢）
當線圈轉起來后，設垂直紙面的導線的運動速度為v ， 導線中的電荷相對于磁場運動，它們受到的洛倫茲力大小為：
左邊的導線的電荷受到洛倫茲力沿導線垂直紙面向外，而右邊的導線的電荷受力沿導線垂直紙面向里 ， 由此導線內的電荷會運動形成電流，這說明線圈內產生了電動勢 。而只有垂直于紙面的兩條導線會貢獻電動勢，線圈內的動生總電動勢大小為V ， 那么由電動勢的定義與功的表達式可得：
進一步考慮導線的運動速度v與轉動速度ω=dθ/dt之間的關系：
可以得到動生電動勢的新表達式：
其中面積A=dL 。注意到φ=BAsinθ正是線圈的磁通量大??，磁通量份^潁ǘㄒ邐懦〈怪庇諂矯嫻姆至浚┚哂邢蠐業姆至?nbsp;， 從θ=0轉到θ=90°的過程中，磁通量逐漸變大，于是磁通量的變化的方向也是具有向右的分量 。而根據上述洛倫茲力方向的分析，可知若右手四指朝著電流方向則右手大拇指方向具有向左的分量，表明大拇指方向與磁通量的變化的方向相反 。若以右手螺旋定則來聯系磁通量方向與電動勢的方向，那么具有正負號的動生電動勢與磁通量的關系為：
這里動生電動勢的產生是由于線圈轉動（切割磁感線）引起的 ， 實際上，若線圈不動，但改變磁場的強度也可以產生電動勢，稱為感生電動勢，而感生電動勢與磁通量的關系也滿足上述公式，電動勢與磁通量的關系稱為法拉第電磁感應定律 。另外，由于線圈不動 ， 所以電荷速度為零，不會受到磁場力qvB，然而電荷還是因為有感生電動勢而受力，那根據洛倫茲力公式，電荷受力只能來源于電場力F=qE，即這種情況下磁通量的變化產生了電?。ɡ詰绱鷗杏Χ芍械母猩綞樸玫緋【嚀逍闖隼次?
其中最后一個等號用到了線圈不隨時間變化的條件 。
由于上式對任意線圈成立，所以有：
這正是麥克斯韋方程組中關于電場散度的方程 。也可以反過來看，該方程能推導出感生電動勢與磁通量變化的關系，而洛倫茲力則能推導出動生電動勢與磁通量變化的關系，并且神奇的是電動勢與磁通量的關系都滿足同一方程 ， 這就是大名鼎鼎的法拉第電磁感應定律 。安培力使得人們可以制造出電動機，讓電能轉化為機械能，而法拉第電磁感應定律則反之，讓機械能轉化成電能，使得人們可以制造出發電機，對人類文明的發展有著重大意義 。
【電動機與發電機的工作原理是什么？】
